📈 הנגזרת: שיפוע, קצב שינוי ומשוואת משיק
📚 בהתאם לתוכנית הלימודים
בתוכנית החדשה לתיכון, כיתה י': 4 יח"ל: "מושג הנגזרת. פולינום: נגזרת, יישומים: משוואת משיק וחקירת פונקציה" (לקראת שאלון 35471). 5 יח"ל: "הנגזרת כקצב שינוי... נגזרת פולינום ויישומיה: משוואת משיק, חקירה" (לקראת שאלון 35571).
🎯 מטרות השיעור
- להבין את הנגזרת כשיפוע המשיק וכקצב שינוי רגעי.
- לגזור פולינום לפי כללי הגזירה.
- למצוא ערך נגזרת בנקודה, משוואת משיק, ונקודה שבה השיפוע נתון.
🚪 פתק כניסה (3 דקות)
בתחילת השיעור כל תלמיד עונה על פתק, בלי ציון:
- מהו השיפוע של הישר y = 3x − 2?
- רכב עבר 150 ק"מ ב-2 שעות. מה המהירות הממוצעת?
- חשבו (f(3) − f(1))/(3 − 1) עבור f(x) = x².
למורה: שאלה 2 היא קצב שינוי ממוצע. שאלה 3 היא אותו רעיון על גרף: שיפוע של מיתר. חפשו תלמידים שמזהים ששתי השאלות זהות במבנה.
🔑 מושגי מפתח
- קצב שינוי ממוצע
- (f(b) − f(a))/(b − a): שיפוע הישר שעובר בשתי נקודות על הגרף.
- משיק
- ישר שנוגע בגרף בנקודה ונראה כמו הגרף "מקרוב" סביבה.
- נגזרת f′(x)
- פונקציה שנותנת בכל x את שיפוע המשיק, כלומר את קצב השינוי הרגעי.
- ערך נגזרת בנקודה
- f′(x₀): מספר, השיפוע של המשיק בנקודה x₀.
- כלל החזקה
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. לדוגמה (x⁵)′ = 5x⁴.
- משוואת משיק
- y − f(x₀) = f′(x₀)·(x − x₀).
📖 הסבר למורה
מתחילים מקצב שינוי ממוצע: שיפוע המיתר בין שתי נקודות. כשמקרבים את הנקודה השנייה לראשונה, המיתר הופך למשיק, והשיפוע מתקרב למספר אחד. המספר הזה הוא הנגזרת בנקודה.
כללי הגזירה של פולינום: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, הנגזרת של מספר קבוע היא 0, (c·f)′ = c·f′, ונגזרת של סכום היא סכום הנגזרות. כך גוזרים איבר אחרי איבר.
משוואת משיק בשלושה צעדים: מוצאים f(x₀) (הנקודה), מוצאים f′(x₀) (השיפוע), ומציבים ב-y − f(x₀) = f′(x₀)·(x − x₀).
שיפוע נתון: אם המשיק מקביל לישר עם שיפוע m, פותרים f′(x) = m. אחר כך מציבים את x ב-f כדי לקבל את y של הנקודה.
טעויות נפוצות: לכתוב (x³)′ = 3x³ במקום 3x²; לשכוח שנגזרת של קבוע היא 0; להציב במשוואת המשיק את f′(x₀) במקום f(x₀) בתור y של הנקודה.
✏️ דוגמאות פתורות ללוח
דוגמה 1. עבור f(x) = x², חשבו את קצב השינוי הממוצע מ-x = 3 עד x = 4, עד x = 3.1 ועד x = 3.01. לאיזה מספר זה מתקרב?
- (16 − 9)/1 = 7
- (9.61 − 9)/0.1 = 6.1
- (9.0601 − 9)/0.01 = 6.01
- הקצב מתקרב ל-6.
- לפי הכלל: f′(x) = 2x, ולכן f′(3) = 6. התאמה.
תשובה: מתקרב ל-6, שהוא f′(3)
דוגמה 2. מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x) = x² − 6x + 5 בנקודה שבה x = 4.
- הנקודה: f(4) = 16 − 24 + 5 = −3, כלומר (4, −3).
- הנגזרת: f′(x) = 2x − 6.
- השיפוע: f′(4) = 8 − 6 = 2.
- מציבים: y + 3 = 2·(x − 4).
- y = 2x − 11
תשובה: y = 2x − 11
דוגמה 3. באילו נקודות על הגרף f(x) = x³ − 3x² + 1 שיפוע המשיק הוא 9?
- f′(x) = 3x² − 6x
- 3x² − 6x = 9
- x² − 2x − 3 = 0
- (x − 3)(x + 1) = 0, ולכן x = 3 או x = −1.
- f(3) = 27 − 27 + 1 = 1, f(−1) = −1 − 3 + 1 = −3.
תשובה: (3, 1) ו-(−1, −3)
👩🏫 פעילות בכיתה
- פתיחה (5 דק'): שאלות הכניסה בזוגות, דיון קצר על מהירות ממוצעת.
- הדגמה (7 דק'): דוגמה 1 על הלוח, טבלה של מיתרים שמתקצרים.
- הכללים (8 דק'): כותבים את ארבעת כללי הגזירה, כל זוג גוזר 3 פולינומים.
- משיק (8 דק'): דוגמה 2, שלושת הצעדים במסגרת על הלוח.
- שיפוע נתון (7 דק'): דוגמה 3, התלמידים פותרים לפני שהמורה מראה.
- תרגול (7 דק'): סעיפים 1 עד 3 בדף העבודה.
- סיום (3 דק'): שאלות יציאה.
💡 הערות למורה
תלמידי 4 יח"ל: להתמקד בכללים ובשלושת הצעדים של המשיק. תלמידי 5 יח"ל: לשאול למה קצב ממוצע מתקרב לנגזרת, ולהוסיף את הסעיפים המאתגרים עם פרמטר. תלמיד שמתבלבל בין f ל-f′: לבקש ממנו לכתוב ליד כל מספר אם הוא "נקודה" או "שיפוע".
❓ שאלות תרגול (בודקים בלחיצה)
1. מהי הנגזרת של 5x⁴?
2. מהי הנגזרת של המספר הקבוע 7?
3. עבור f(x) = x² + 3x, מהו f′(1)?
4. מהו שיפוע המשיק לגרף f(x) = x³ בנקודה x = −2?
עוד תרגול: בוחן תרגול של 10 שאלות ליחידה.
🎟️ כרטיס יציאה (3 דקות)
- גזרו: f(x) = 2x³ − x² + 4.
- מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x) = x² בנקודה x = 3.
תשובות: 1. f′(x) = 6x² − 2x. 2. f(3) = 9, f′(3) = 6, ולכן y = 6x − 9.
📝 בדף העבודה
5 תרגילים, ★ חלק אקסטרה למתקדמים, ומחוון עם פתרון מלא לכל תרגיל. למתקשים יש דף עם תמיכה: מחסן מילים, תזכורת של הכלל ושאלות בשלבים.
לדף העבודה ←