✖️ סדרה הנדסית, סכום אינסופי ושילוב סדרות
📚 בהתאם לתוכנית הלימודים
בתוכנית החדשה לתיכון: 4 יח"ל, כיתה י"ב (שאלון 35472): "סדרה חשבונית. סדרה הנדסית (כולל אינסופית שסכומה מתכנס). שילוב סדרה חשבונית וסדרה הנדסית". 5 יח"ל, כיתה י"א (שאלון 35571): מבוא לסדרות וסדרה הנדסית. שימו לב: לפי המיקוד לבגרות תשפ"ז, "סדרה חשבונית" לא תיבחן בשאלון 35571.
🎯 מטרות השיעור
- לזהות סדרה הנדסית ולמצוא את המנה q.
- למצוא איבר כללי וסכום Sₙ של סדרה הנדסית.
- לחשב סכום אינסופי כאשר |q| < 1, ולפתור בעיה המשלבת סדרה חשבונית והנדסית.
🚪 פתק כניסה (3 דקות)
בתחילת השיעור כל תלמיד עונה על פתק, בלי ציון:
- המשיכו: 3, 6, 12, 24, …
- המשיכו: 81, 27, 9, …
- דף נייר מקופל לשניים 6 פעמים. כמה שכבות יש?
למורה: שימו לב מי מנסה להוסיף מספר קבוע ומגלה שזה לא עובד. בשאלה 3 התשובה 2⁶ = 64 מראה כמה מהר סדרה הנדסית גדלה.
🔑 מושגי מפתח
- סדרה הנדסית
- סדרה שבה המנה בין כל איבר לקודמו קבועה.
- מנת הסדרה q
- q = aₙ₊₁ / aₙ. q ≠ 0.
- איבר כללי
- aₙ = a₁·qⁿ⁻¹
- סכום Sₙ
- Sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) כאשר q ≠ 1.
- סכום אינסופי מתכנס
- S = a₁/(1 − q), רק כאשר |q| < 1.
📖 הסבר למורה
בסדרה הנדסית עוברים מאיבר לאיבר על ידי כפל באותו מספר q. אם q שלילי, הסימנים מתחלפים.
כדי להגיע לאיבר ה־n כופלים ב־q בדיוק n−1 פעמים: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. טעות נפוצה: (a₁·q)ⁿ⁻¹ במקום a₁·qⁿ⁻¹.
נוסחת הסכום Sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) לא עובדת כאשר q = 1, כי אז מחלקים באפס. במקרה זה כל האיברים שווים ו־Sₙ = n·a₁.
כאשר |q| < 1 האיברים קטנים והולכים, והסכום מתקרב למספר קבוע: S = a₁/(1 − q). כאשר |q| ≥ 1 אין סכום סופי. שבר עשרוני מחזורי הוא סכום כזה, למשל 0.363636… = 36/100 + 36/10000 + ….
בבעיה משולבת יש שתי סדרות. כותבים כל איבר בעזרת a₁ ו־d של הסדרה החשבונית, ומשתמשים בתכונה של סדרה הנדסית: לשלושה איברים עוקבים b₂² = b₁·b₃.
✏️ דוגמאות פתורות ללוח
דוגמה 1. בסדרה הנדסית a₁ = 3 ו־q = 2. מצאו את a₈.
- aₙ = a₁·qⁿ⁻¹
- a₈ = 3·2⁷
- a₈ = 3·128 = 384
תשובה: a₈ = 384
דוגמה 2. בסדרה הנדסית a₂ = 12 ו־a₅ = 96. מצאו את a₁, את q ואת S₆.
- a₁·q = 12 ו־a₁·q⁴ = 96.
- מחלקים: q³ = 8, ולכן q = 2.
- a₁ = 12/2 = 6
- S₆ = 6·(2⁶ − 1)/(2 − 1) = 6·63 = 378
תשובה: a₁ = 6, q = 2, S₆ = 378
דוגמה 3. כתבו את השבר המחזורי 0.363636… כשבר פשוט.
- 0.3636… = 36/100 + 36/10000 + …
- סדרה הנדסית: a₁ = 36/100, q = 1/100, ו־|q| < 1.
- S = (36/100)/(1 − 1/100) = (36/100)/(99/100)
- S = 36/99 = 4/11
תשובה: 4/11
👩🏫 פעילות בכיתה
- פתיחה: שאלות הכניסה ופעילות קיפול הנייר (5 דקות).
- השוואה: טבלה של סדרה חשבונית מול סדרה הנדסית, מה מוסיפים ומה כופלים.
- דוגמה 1 ודוגמה 2 בהנחיית המורה.
- סכום אינסופי: מציירים ריבוע ומחלקים לחצאים, רבעים ושמיניות. מגיעים לסכום 1.
- דוגמה 3: שבר מחזורי. כל זוג ממיר שבר מחזורי אחר ובודק במחשבון.
- דף עבודה: שאלות 1 עד 5, מתקדמים לחלק הכוכב עם הבעיה המשולבת.
- סיכום ושאלות יציאה.
💡 הערות למורה
תלמידים רבים מבלבלים בין d ל־q: בקשו לבדוק תמיד גם חיסור וגם חילוק. הדגישו שסכום אינסופי קיים רק כאשר |q| < 1. לתלמידים מתקשים תנו את הדף המותאם עם תיבת הנוסחאות. למתקדמים: הבעיה המשולבת וכתיבת 0.4555… כשבר.
❓ שאלות תרגול (בודקים בלחיצה)
1. מהי המנה בסדרה 5, 15, 45, …?
2. בסדרה הנדסית a₁ = 2 ו־q = 3. מהו a₅?
3. מהו הסכום האינסופי של סדרה הנדסית עם a₁ = 12 ו־q = 1/4?
4. לאיזו סדרה הנדסית אינסופית יש סכום סופי?
עוד תרגול: בוחן תרגול של 10 שאלות ליחידה.
🎟️ כרטיס יציאה (3 דקות)
- בסדרה הנדסית a₁ = 4 ו־q = −2. מצאו את a₆.
- כתבו את 0.777… כשבר פשוט.
תשובות: 1. a₆ = 4·(−2)⁵ = −128. 2. S = (7/10)/(1 − 1/10) = 7/9.
📝 בדף העבודה
5 תרגילים, ★ חלק אקסטרה למתקדמים, ומחוון עם פתרון מלא לכל תרגיל. למתקשים יש דף עם תמיכה: מחסן מילים, תזכורת של הכלל ושאלות בשלבים.
לדף העבודה ←