🔍 חקירת פולינום
📚 בהתאם לתוכנית הלימודים
בתוכנית החדשה לתיכון, כיתה י': 4 יח"ל: "מושג הנגזרת. פולינום: נגזרת, יישומים: משוואת משיק וחקירת פונקציה" (לקראת שאלון 35471). 5 יח"ל: "הנגזרת כקצב שינוי... נגזרת פולינום ויישומיה: משוואת משיק, חקירה" (לקראת שאלון 35571).
🎯 מטרות השיעור
- למצוא נקודות קיצון בעזרת f′(x) = 0 וטבלת סימנים.
- לקבוע תחומי עלייה וירידה.
- לחקור פולינום עד הסוף ולתאר סקיצה במילים.
🚪 פתק כניסה (3 דקות)
בתחילת השיעור כל תלמיד עונה על פתק, בלי ציון:
- גזרו: f(x) = x³ − 3x².
- פתרו: 3x² − 6x = 0.
- אם השיפוע של משיק חיובי, האם הגרף עולה או יורד שם?
למורה: שאלה 3 היא המפתח לכל השיעור: סימן הנגזרת אומר עלייה או ירידה. בדקו שהתלמידים מוציאים גורם משותף בשאלה 2 ולא מחלקים ב-x.
🔑 מושגי מפתח
- תחום הגדרה
- כל ה-x שמותר להציב. לפולינום: כל x.
- נקודת קיצון
- נקודה שבה הגרף מחליף כיוון: מקסימום (מעלייה לירידה) או מינימום (מירידה לעלייה).
- נקודה חשודה לקיצון
- x שבו f′(x) = 0.
- טבלת סימנים
- טבלה שמראה את סימן f′(x) בין הנקודות החשודות.
- תחום עלייה
- תחום שבו f′(x) > 0.
- תחום ירידה
- תחום שבו f′(x) < 0.
📖 הסבר למורה
הרעיון: f′(x) הוא שיפוע. כאשר f′(x) > 0 הגרף עולה, וכאשר f′(x) < 0 הגרף יורד. בנקודת קיצון המשיק אופקי, ולכן f′(x) = 0.
סדר החקירה: 1. תחום הגדרה (לפולינום: כל x). 2. נגזרת ופתרון f′(x) = 0. 3. טבלת סימנים: מציבים בנגזרת מספר אחד מכל תחום. 4. סוג הקיצון וערך y. 5. תחומי עלייה וירידה. 6. חיתוך עם הצירים. 7. סקיצה.
בטבלה: מעבר מ-+ ל-− הוא מקסימום, מעבר מ-− ל-+ הוא מינימום. אם הסימן לא מתחלף, אין קיצון באותה נקודה, למשל ב-f(x) = x³ בנקודה x = 0.
חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0. חיתוך עם ציר x: פותרים f(x) = 0, בדרך כלל בהוצאת גורם משותף.
טעויות נפוצות: לחלק את המשוואה ב-x ולאבד את הפתרון x = 0; לכתוב את ערך x בלבד בלי ערך y של הנקודה; להציב בטבלה ב-f במקום ב-f′; לחשוב שכל f′(x) = 0 הוא קיצון.
✏️ דוגמאות פתורות ללוח
דוגמה 1. חקרו את f(x) = x³ − 3x²: קיצון, עלייה וירידה, חיתוך עם הצירים.
- תחום הגדרה: כל x.
- f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)
- f′(x) = 0: x = 0 או x = 2.
- טבלה: ב-x = −1: f′ = 9 > 0; ב-x = 1: f′ = −3 < 0; ב-x = 3: f′ = 9 > 0.
- מקסימום (0, 0), מינימום (2, −4).
- עולה ב-x < 0 וב-x > 2. יורדת ב-0 < x < 2.
- חיתוך: x²(x − 3) = 0, הנקודות (0, 0) ו-(3, 0).
תשובה: מקסימום (0, 0), מינימום (2, −4); חיתוך (0, 0), (3, 0)
דוגמה 2. מצאו את נקודות הקיצון של f(x) = x⁴ − 2x² וקבעו את סוגן.
- f′(x) = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1)
- נקודות חשודות: x = −1, x = 0, x = 1.
- סימני f′: − לפני −1, + בין −1 ל-0, − בין 0 ל-1, + אחרי 1.
- מינימום (−1, −1), מקסימום (0, 0), מינימום (1, −1).
תשובה: מינימום (−1, −1) ו-(1, −1), מקסימום (0, 0)
דוגמה 3. הסבירו מדוע ל-f(x) = x³ + 3x אין נקודות קיצון.
- f′(x) = 3x² + 3
- 3x² + 3 = 0 נותן x² = −1: אין פתרון.
- הנגזרת תמיד חיובית, ולכן הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה.
תשובה: אין פתרון ל-f′(x) = 0; הפונקציה עולה תמיד
👩🏫 פעילות בכיתה
- פתיחה (5 דק'): שאלות הכניסה, דיון על סימן השיפוע.
- הדגמה (10 דק'): דוגמה 1 צעד אחרי צעד, כולל טבלת סימנים על הלוח.
- זוגות (8 דק'): דוגמה 2, כל זוג ממלא טבלה עם 4 תחומים.
- דיון (4 דק'): דוגמה 3, "נגזרת שאינה מתאפסת".
- סקיצה (6 דק'): כל תלמיד מתאר במילים את גרף דוגמה 1 ומשרטט במחברת.
- תרגול (9 דק'): סעיפים 1 עד 4 בדף העבודה.
- סיום (3 דק'): שאלות יציאה.
💡 הערות למורה
כדאי לתלות על הקיר את שבעת שלבי החקירה. תלמידי 4 יח"ל: מספיקה חקירה של פולינום ממעלה 3 עם גורם משותף. תלמידי 5 יח"ל: מעלה 4, פרמטר, וחקירה מלאה עם סקיצה. תלמיד מתקשה: לתת לו טבלה מוכנה שבה רק ממלאים סימנים.
❓ שאלות תרגול (בודקים בלחיצה)
1. עבור f(x) = x² − 6x, היכן יש קיצון?
2. בטבלת סימנים f′ עובר מ-+ ל-−. איזו נקודה זו?
3. מהו ערך y בנקודת המינימום של f(x) = x² + 4x + 1?
4. היכן הפונקציה f(x) = x³ − 12x יורדת?
עוד תרגול: בוחן תרגול של 10 שאלות ליחידה.
🎟️ כרטיס יציאה (3 דקות)
- מצאו את נקודות הקיצון של f(x) = x³ − 3x וקבעו את סוגן.
- היכן הגרף של f(x) = x³ − 3x חותך את ציר y?
תשובות: 1. מקסימום (−1, 2), מינימום (1, −2). 2. בנקודה (0, 0).
📝 בדף העבודה
5 תרגילים, ★ חלק אקסטרה למתקדמים, ומחוון עם פתרון מלא לכל תרגיל. למתקשים יש דף עם תמיכה: מחסן מילים, תזכורת של הכלל ושאלות בשלבים.
לדף העבודה ←