מחוון למורה · פתרונות מלאים

מחוון: חקירת פולינום

1. 1. תשובה: מקסימום ‪(2, 9)‬
   פתרון:
   ‪f′(x) = −2x + 4‬
   ‪−2x + 4 = 0‬, ‪x = 2‬
   לפני ‪2‬: ‪f′(0) = 4 > 0‬; אחרי: ‪f′(3) = −2 < 0‬.
   ‪f(2) = −4 + 8 + 5 = 9‬
   מקסימום ‪(2, 9)‬.
2. 2. תשובה: מקסימום ‪(1, 4)‬, מינימום ‪(3, 0)‬
   פתרון:
   ‪f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)‬
   ‪x = 1‬ או ‪x = 3‬
   סימנים: ‪+‬ לפני ‪1‬, ‪−‬ בין ‪1‬ ל-‪3‬, ‪+‬ אחרי ‪3‬.
   ‪f(1) = 1 − 6 + 9 = 4‬, ‪f(3) = 27 − 54 + 27 = 0‬
   מקסימום ‪(1, 4)‬, מינימום ‪(3, 0)‬.
3. 3. תשובה: עולה ב-‪x < 1‬ וב-‪x > 3‬; יורדת ב-‪1 < x < 3‬
   פתרון:
   מהטבלה בסעיף הקודם:
   עולה: ‪x < 1‬ או ‪x > 3‬.
   יורדת: ‪1 < x < 3‬.
4. 4. תשובה: ‪(0, 0)‬ ו-‪(3, 0)‬
   פתרון:
   ציר ‪y‬: ‪f(0) = 0‬, הנקודה ‪(0, 0)‬.
   ציר ‪x‬: ‪x(x² − 6x + 9) = 0‬
   ‪x(x − 3)² = 0‬, ולכן ‪x = 0‬ או ‪x = 3‬.
   הנקודות: ‪(0, 0)‬ ו-‪(3, 0)‬. ב-‪(3, 0)‬ הגרף רק נוגע בציר (זו גם נקודת המינימום).
5. 5. תשובה: א. יוצא מלמטה, עולה עד ‪(1, 4)‬, יורד ונוגע בציר ב-‪(3, 0)‬, ועולה שוב
   פתרון:
   פולינום ממעלה ‪3‬ עם מקדם חיובי: משמאל למטה, מימין למעלה.
   עולה עד המקסימום ‪(1, 4)‬, יורד עד המינימום ‪(3, 0)‬ על ציר ‪x‬, ואז עולה.
   עובר בראשית ‪(0, 0)‬.

★ חלק אקסטרה למתקדמים

1. 6. תשובה: מינימום ‪(±2, −16)‬, מקסימום ‪(0, 0)‬
   פתרון:
   ‪f′(x) = 4x³ − 16x = 4x(x − 2)(x + 2)‬
   חשודות: ‪x = −2‬, ‪x = 0‬, ‪x = 2‬.
   סימנים: ‪−‬, ‪+‬, ‪−‬, ‪+‬.
   ‪f(±2) = 16 − 32 = −16‬, ‪f(0) = 0‬
   מינימום ‪(−2, −16)‬ ו-‪(2, −16)‬, מקסימום ‪(0, 0)‬.
   יורדת ב-‪x < −2‬ וב-‪0 < x < 2‬; עולה ב-‪−2 < x < 0‬ וב-‪x > 2‬.
2. 7. תשובה: ‪a = −3‬, מינימום ‪(2, 1)‬
   פתרון:
   ‪f′(x) = 3x² + 2ax‬
   ‪f′(2) = 12 + 4a = 0‬, ולכן ‪a = −3‬.
   ‪f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)‬
   סביב ‪2‬ הסימן עובר מ-‪−‬ ל-‪+‬: מינימום.
   ‪f(2) = 8 − 12 + 5 = 1‬, הנקודה ‪(2, 1)‬.
3. 8. תשובה: ‪3‬ פתרונות
   פתרון:
   מהשאלה ביציאה: מקסימום ‪(−1, 2)‬, מינימום ‪(1, −2)‬.
   הישר ‪y = 1‬ נמצא בין ‪−2‬ ל-‪2‬.
   הוא חותך את העלייה הראשונה, את הירידה ואת העלייה השנייה: ‪3‬ פתרונות.

המורה החדש · חומרים חינמיים למורים

נוצר בבינה מלאכותית