מחוון למורה · פתרונות מלאים

מחוון: סדרה הנדסית, סכום אינסופי ושילוב סדרות

1. 1. תשובה: ‪q = 3‬, ‪a₇ = 1458‬
   פתרון:
   ‪q = 6/2 = 3‬
   ‪a₇ = 2·3⁶‬
   ‪a₇ = 2·729 = 1458‬
2. 2. תשובה: ‪a₆ = 5‬
   פתרון:
   ‪160·(1/2)ⁿ⁻¹ = 5‬
   ‪(1/2)ⁿ⁻¹ = 1/32‬
   ‪2ⁿ⁻¹ = 32 = 2⁵‬
   ‪n − 1 = 5‬, ולכן ‪n = 6‬.
3. 3. תשובה: ‪q = 3‬, ‪a₁ = 2‬
   פתרון:
   ‪a₁·q² = 18‬ ו־‪a₁·q⁴ = 162‬.
   מחלקים: ‪q² = 9‬. הסדרה חיובית, ולכן ‪q = 3‬.
   ‪a₁ = 18/9 = 2‬
4. 4. תשובה: ‪S₁₀ = 1023‬
   פתרון:
   ‪a₁ = 1‬, ‪q = 2‬.
   ‪S₁₀ = 1·(2¹⁰ − 1)/(2 − 1)‬
   ‪S₁₀ = 1024 − 1 = 1023‬
5. 5. תשובה: ‪16/9‬ מטר, בערך 1.78 מטר
   פתרון:
   הגבהים: ‪9, 9·(2/3), 9·(2/3)², …‬.
   אחרי 4 פגיעות: ‪9·(2/3)⁴‬.
   ‪9·16/81 = 16/9 ≈ 1.78‬ מטר.

★ חלק אקסטרה למתקדמים

1. 6. תשובה: ‪q = 1/3‬
   פתרון:
   ‪24/(1 − q) = 36‬
   ‪1 − q = 24/36 = 2/3‬
   ‪q = 1/3‬, ואכן ‪|q| < 1‬.
2. 7. תשובה: ‪d = 3‬, ‪q = 4‬
   פתרון:
   ‪a₃ = 2 + 2d‬, ‪a₁₁ = 2 + 10d‬.
   בסדרה הנדסית: ‪a₃² = a₁·a₁₁‬.
   ‪(2 + 2d)² = 2·(2 + 10d)‬
   ‪4 + 8d + 4d² = 4 + 20d‬, ולכן ‪4d² = 12d‬.
   ‪d ≠ 0‬, ולכן ‪d = 3‬. הסדרה ההנדסית: ‪2, 8, 32‬, ו־‪q = 4‬.
3. 8. תשובה: ‪41/90‬
   פתרון:
   ‪0.4555… = 4/10 + 5/100 + 5/1000 + …‬
   החלק המחזורי: ‪a₁ = 5/100‬, ‪q = 1/10‬.
   ‪(5/100)/(1 − 1/10) = (5/100)·(10/9) = 5/90‬
   ‪4/10 + 5/90 = 36/90 + 5/90 = 41/90‬

המורה החדש · חומרים חינמיים למורים

נוצר בבינה מלאכותית