📐 שורש ריבועי וחוקיו
📚 בהתאם לתוכנית הלימודים
בפריסת ההוראה של משרד החינוך לכיתה ט' (תשפ"ז) מופיעים "חוקי חזקות" (מעריך טבעי או אפס) ו"חוקי שורש ריבועי". היחידה מכסה את שניהם, בלי מעריכים שליליים.
🎯 מטרות השיעור
- להשתמש בחוקי השורש של מכפלה ושל מנה
- לפשט שורשים ולכנס שורשים דומים
- לקרב שורש בין שני שלמים ולהכיר מספר אי-רציונלי
🚪 פתק כניסה (3 דקות)
בתחילת השיעור כל תלמיד עונה על פתק, בלי ציון:
- כמה זה √49?
- איזה מספר בריבוע נותן 121?
- בין אילו שני מספרים שלמים נמצא √30?
למורה: בדקו שהתלמידים זוכרים ריבועים עד 15². השאלה השלישית מכינה את נושא הקירוב.
🔑 מושגי מפתח
- שורש ריבועי
- √a הוא המספר האי-שלילי שבריבוע נותן a, כאשר a ≥ 0
- ריבוע שלם
- מספר שהוא ריבוע של שלם, כמו 36 או 81
- פישוט שורש
- הוצאת ריבוע שלם מתוך השורש, √50 = 5√2
- שורשים דומים
- שורשים עם אותו מספר בפנים, כמו 3√2 ו-5√2
- מספר אי-רציונלי
- מספר שאי אפשר לכתוב כשבר של שלמים, למשל √2
📖 הסבר למורה
השורש הריבועי הוא הפעולה ההפוכה לריבוע: √a = b כאשר b² = a ו-b ≥ 0. לכן √16 = 4 ולא −4.
חוק המכפלה: √(a·b) = √a·√b. חוק המנה: √(a/b) = √a/√b כאשר a ≥ 0 ו-b > 0. החוקים נובעים מחוקי החזקות: (√a·√b)² = a·b.
פישוט: מפרקים את המספר לגורם שהוא ריבוע שלם כפול גורם אחר. √50 = √(25·2) = 5√2. כדאי לחפש את הריבוע השלם הגדול ביותר. כינוס: 3√2 + 5√2 = 8√2, כמו 3x + 5x = 8x. √2 + √3 לא מתכנס.
קירוב: √40 נמצא בין 6 ל-7, כי 6² = 36 ו-7² = 49. שורש של מספר טבעי שאינו ריבוע שלם הוא מספר אי-רציונלי: הפיתוח העשרוני שלו אינסופי ולא מחזורי.
טעות נפוצה: √(a+b) ≠ √a + √b. דוגמה: √(9+16) = √25 = 5, אבל √9 + √16 = 3 + 4 = 7. חוק המכפלה לא עובד על סכום.
✏️ דוגמאות פתורות ללוח
דוגמה 1. פשטו: √72
- מחפשים ריבוע שלם גדול שמחלק את 72: 36
- √72 = √(36·2)
- = √36·√2 = 6√2
תשובה: 6√2
דוגמה 2. חשבו: √12 + √27
- √12 = √(4·3) = 2√3
- √27 = √(9·3) = 3√3
- שורשים דומים: 2√3 + 3√3 = 5√3
תשובה: 5√3
דוגמה 3. חשבו: √(49/4) ו-√8·√2
- חוק המנה: √49/√4 = 7/2 = 3.5
- חוק המכפלה: √8·√2 = √16 = 4
תשובה: 3.5 ו-4
👩🏫 פעילות בכיתה
- פתיחה: שאלות הכניסה, ותזכורת לטבלת הריבועים עד 15².
- גילוי בזוגות: חשבו √4·√9 ו-√36. מה שמתם לב?
- ניסוח חוקי המכפלה והמנה על הלוח.
- פישוט שורשים: הדגמה של √50 ו-√72, ואז 3 תרגילים בזוגות.
- כינוס שורשים דומים: השוואה ל-3x + 5x.
- קירוב: התלמידים ממקמים √20, √50, √90 על ציר מספרים.
- דף העבודה ושאלות היציאה.
💡 הערות למורה
הטעות √(a+b) = √a + √b עקשנית. הראו דוגמה נגדית מספרית ובקשו מהתלמידים למצוא דוגמה משלהם. לתלמידים מתקשים תנו טבלת ריבועים. לתלמידים מתקדמים: הוכחה ש-√2 אי-רציונלי.
❓ שאלות תרגול (בודקים בלחיצה)
1. √50 בפישוט שווה ל:
2. בין אילו שלמים נמצא √55?
3. √(16+9) שווה ל:
4. איזה מהמספרים אי-רציונלי?
עוד תרגול: בוחן תרגול של 10 שאלות ליחידה.
🎟️ כרטיס יציאה (3 דקות)
- פשטו: √45
- חשבו: 2√5 + √20
תשובות: 1. 3√5 2. √20 = 2√5, לכן 4√5
📝 בדף העבודה
5 תרגילים, ★ חלק אקסטרה למתקדמים, ומחוון עם פתרון מלא לכל תרגיל. למתקשים יש דף עם תמיכה: מחסן מילים, תזכורת של הכלל ושאלות בשלבים.
לדף העבודה ←