🧮 המספר המרוכב בהצגה אלגברית
📚 בהתאם לתוכנית הלימודים
בתוכנית החדשה לתיכון, 5 יח"ל, כיתה י"ב (שאלון 35572): "מרוכבים: הגדרה, הצגה אלגברית, שוויון, ארבע הפעולות. הצגה גרפית במישור גאוס... הצגה קוטבית (טריגונומטרית)... משפט דה-מואבר. שורשי יחידה, שורשים מסדר n". בבחינה 35572, בפרק הראשון: "הנדסה אנליטית, וקטורים (כולל טריגונומטריה במרחב), מספרים מרוכבים". הנושא לא נלמד ב-4 יח"ל.
🎯 מטרות השיעור
- לבצע את ארבע פעולות החשבון במספרים מרוכבים בהצגה z = a + bi.
- לסמן מספר מרוכב במישור גאוס ולחשב צמוד וערך מוחלט.
- לפתור משוואה ריבועית עם דיסקרימיננטה שלילית ולמצוא שורש ריבועי של מספר מרוכב.
🚪 פתק כניסה (3 דקות)
בתחילת השיעור כל תלמיד עונה על פתק, בלי ציון:
- האם יש מספר ממשי שריבועו −9?
- פתרו: x² + 4 = 0. מה קורה בנוסחת השורשים?
- חשבו: (3 + 2x)·(3 − 2x).
למורה: שאלות 1 ו־2 מראות שבמספרים הממשיים אין פתרון. שאלה 3 מכינה את הכפל בצמוד: חפשו מי מזהה את 9 − 4x² כהפרש ריבועים.
🔑 מושגי מפתח
- היחידה המדומה i
- מספר שמקיים i² = −1.
- מספר מרוכב
- מספר מהצורה z = a + bi, כאשר a ו־b ממשיים.
- חלק ממשי וחלק מדומה
- ב־z = a + bi: Re z = a ו־Im z = b.
- מספר צמוד
- הצמוד של z = a + bi הוא z̄ = a − bi.
- ערך מוחלט
- |z| = √(a² + b²): המרחק של הנקודה מראשית הצירים.
- מישור גאוס
- מישור שבו z = a + bi הוא הנקודה (a, b). ציר ממשי וציר מדומה.
📖 הסבר למורה
מוסיפים למספרים הממשיים מספר חדש i שמקיים i² = −1. כל מספר מרוכב נכתב a + bi. שני מספרים מרוכבים שווים רק אם החלקים הממשיים שווים וגם החלקים המדומים שווים.
חיבור וחיסור: מחברים ממשי עם ממשי ומדומה עם מדומה. כפל: פותחים סוגריים כמו בביטוי אלגברי ומחליפים i² ב־−1. החזקות של i חוזרות כל 4: i, −1, −i, 1.
חילוק: כופלים את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה. כך המכנה נעשה ממשי, כי (a + bi)(a − bi) = a² + b². טעות נפוצה: לכפול רק את המכנה.
במישור גאוס, z = a + bi הוא הנקודה (a, b) או וקטור מהראשית. חיבור מספרים הוא חיבור וקטורים (כלל המקבילית). |z₁ − z₂| הוא המרחק בין שתי הנקודות. הצמוד הוא שיקוף בציר הממשי.
משוואה ריבועית עם Δ < 0 פותרים בנוסחה הרגילה, עם √(−36) = 6i. שורש ריבועי של מספר מרוכב w מוצאים מ־(x + yi)² = w: משווים חלק ממשי וחלק מדומה. המשוואה |z − z₀| = r מתארת מעגל שמרכזו z₀ ורדיוסו r.
✏️ דוגמאות פתורות ללוח
דוגמה 1. חשבו: (7 + i)/(1 − 2i).
- כופלים מונה ומכנה בצמוד 1 + 2i.
- מונה: (7 + i)(1 + 2i) = 7 + 14i + i + 2i² = 5 + 15i.
- מכנה: (1 − 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5.
- (5 + 15i)/5 = 1 + 3i.
תשובה: 1 + 3i
דוגמה 2. פתרו: z² − 4z + 13 = 0.
- Δ = 16 − 52 = −36.
- √(−36) = 6i.
- z = (4 ± 6i)/2.
- z = 2 + 3i או z = 2 − 3i: שני פתרונות צמודים.
תשובה: z = 2 ± 3i
דוגמה 3. מצאו את השורשים הריבועיים של −5 + 12i.
- מחפשים x, y ממשיים עם (x + yi)² = −5 + 12i.
- x² − y² + 2xyi = −5 + 12i.
- משווים: x² − y² = −5 וגם 2xy = 12, כלומר y = 6/x.
- מציבים: x² − 36/x² = −5, ולכן x⁴ + 5x² − 36 = 0.
- x² = 4 (הפתרון x² = −9 נפסל כי x ממשי), x = ±2, y = ±3.
תשובה: 2 + 3i ו־−2 − 3i
👩🏫 פעילות בכיתה
- פתיחה: שאלות הכניסה על הלוח (5 דקות).
- הגדרת i וחישוב i², i³, i⁴, i⁵ יחד.
- חיבור וכפל בזוגות, ואז דוגמה 1 (חילוק) בהנחיית המורה.
- סימון 3 + 2i, −1 + 4i וסכומם במישור גאוס: רואים את כלל המקבילית.
- דוגמאות 2 ו־3 על הלוח.
- דף עבודה: שאלות 1 עד 5, מתקדמים ממשיכים לחלק הכוכב.
- סיכום ושאלות יציאה.
💡 הערות למורה
טעויות נפוצות: i² = 1, וכפל של המכנה בלבד בצמוד. בשורש ריבועי, הזכירו ש־x ו־y ממשיים ולכן x² = −9 נפסל. לתלמידים מתקשים תנו את הדף המותאם עם תיבת הנוסחאות. למתקדמים: מקומות גאומטריים כמו |z − 1| = |z + i|.
❓ שאלות תרגול (בודקים בלחיצה)
1. מהו i⁷?
2. מהו הצמוד של 5 − 2i?
3. מהו |6 − 8i|?
4. מה מתארת המשוואה |z − 2i| = 3 במישור גאוס?
עוד תרגול: בוחן תרגול של 10 שאלות ליחידה.
🎟️ כרטיס יציאה (3 דקות)
- חשבו: (3 − i)/(1 + i).
- פתרו: z² + 2z + 5 = 0.
תשובות: 1. (3 − i)(1 − i)/2 = (2 − 4i)/2 = 1 − 2i. 2. Δ = −16, z = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i.
📝 בדף העבודה
5 תרגילים, ★ חלק אקסטרה למתקדמים, ומחוון עם פתרון מלא לכל תרגיל. למתקשים יש דף עם תמיכה: מחסן מילים, תזכורת של הכלל ושאלות בשלבים.
לדף העבודה ←