מחוון למורה · פתרונות מלאים

מחוון: הצגה קוטבית ומשפט דה־מואבר

1. 1. תשובה: ‪−√3 + i‬
   פתרון:
   ‪cos 150° = −√3/2‬, ‪sin 150° = 1/2‬.
   ‪2·(−√3/2 + i/2) = −√3 + i‬.
2. 2. תשובה: ‪5√2·cis 225°‬
   פתרון:
   ‪r = √(25 + 25) = 5√2‬.
   הנקודה ‪(−5, −5)‬ ברביע השלישי, זווית עזר ‪45°‬.
   ‪θ = 180° + 45° = 225°‬.
3. 3. תשובה: ‪12·cis 140°‬, ‪3·cis 60° = 3/2 + (3√3/2)·i‬
   פתרון:
   ‪z₁·z₂ = 12·cis 140°‬.
   ‪z₁/z₂ = 3·cis 60°‬.
   ‪3·(1/2 + (√3/2)·i) = 3/2 + (3√3/2)·i‬.
4. 4. תשובה: ‪−512i‬
   פתרון:
   ‪r = √(3 + 1) = 2‬, רביע ראשון, ‪tan θ = 1/√3‬, ולכן ‪θ = 30°‬.
   ‪2⁹·cis 270° = 512·cis 270°‬.
   ‪cis 270° = −i‬.
5. 5. תשובה: ‪3√3/2 + (3/2)·i‬, ‪−3√3/2 + (3/2)·i‬, ‪−3i‬: משולש שווה צלעות
   פתרון:
   ‪27i = 27·cis 90°‬.
   ‪z = 3·cis((90° + 360°·k)/3) = 3·cis(30° + 120°·k)‬.
   ‪k = 0‬: ‪3·cis 30° = 3√3/2 + (3/2)·i‬.
   ‪k = 1‬: ‪3·cis 150° = −3√3/2 + (3/2)·i‬.
   ‪k = 2‬: ‪3·cis 270° = −3i‬.
   שלוש נקודות על מעגל ברדיוס 3: משולש שווה צלעות.

★ חלק אקסטרה למתקדמים

1. 6. תשובה: ‪−4 + 8i‬
   פתרון:
   סיבוב ב־‪90°‬ ומתיחה פי 2 הם כפל ב־‪2·cis 90° = 2i‬.
   ‪(4 + 2i)·2i = 8i + 4i² = −4 + 8i‬.
2. 7. תשובה: 6 שורשים, קודקודי משושה, סכומם ‪0‬
   פתרון:
   ‪1 = cis 0°‬, ולכן ‪z = cis(60°·k)‬, ‪k = 0, …, 5‬.
   ‪1‬, ‪1/2 + (√3/2)·i‬, ‪−1/2 + (√3/2)·i‬, ‪−1‬, ‪−1/2 − (√3/2)·i‬, ‪1/2 − (√3/2)·i‬.
   הם באים בזוגות נגדיים: ‪1‬ ו־‪−1‬, וכן הלאה, ולכן הסכום 0.
   גאומטרית: קודקודי משושה משוכלל שמרכזו בראשית.
3. 8. תשובה: ‪n = 8‬, ‪(1 + i)⁸ = 16‬
   פתרון:
   ‪1 + i = √2·cis 45°‬.
   ‪(1 + i)ⁿ = (√2)ⁿ·cis(45°·n)‬.
   ממשי חיובי כאשר ‪45°·n‬ כפולה של ‪360°‬: ‪n = 8‬.
   ‪(√2)⁸ = 16‬.

המורה החדש · חומרים חינמיים למורים

נוצר בבינה מלאכותית