מחוון למורה · פתרונות מלאים

מחוון: סדרה חשבונית: איבר כללי וסכום

1. 1. תשובה: ‪a₁₀ = 57‬
   פתרון:
   ‪aₙ = a₁ + (n−1)·d‬
   ‪a₁₀ = 12 + 9·5‬
   ‪a₁₀ = 12 + 45 = 57‬
2. 2. תשובה: כן, ‪a₁₅ = 2‬
   פתרון:
   ‪a₁ = 100‬, ‪d = −7‬.
   ‪aₙ = 100 + (n−1)·(−7) = 107 − 7n‬
   ‪107 − 7n = 2‬
   ‪7n = 105‬, ולכן ‪n = 15‬.
   ‪n‬ שלם וחיובי, ולכן 2 הוא איבר.
3. 3. תשובה: ‪a₁ = 3‬, ‪d = 4‬
   פתרון:
   ‪a₁ + 2d = 11‬
   ‪a₁ + 8d = 35‬
   מחסרים: ‪6d = 24‬, ולכן ‪d = 4‬.
   ‪a₁ = 11 − 8 = 3‬
4. 4. תשובה: ‪S₃₀ = 1830‬
   פתרון:
   ‪a₁ = 3‬, ‪d = 4‬, ‪n = 30‬.
   ‪S₃₀ = 30·(2·3 + 29·4)/2‬
   ‪S₃₀ = 15·(6 + 116) = 15·122 = 1830‬
5. 5. תשובה: אחרי 17 שבועות
   פתרון:
   ‪a₁ = 20‬, ‪d = 5‬, ‪Sₙ = 1020‬.
   ‪n·(2·20 + (n−1)·5)/2 = 1020‬
   ‪n·(35 + 5n) = 2040‬
   ‪5n² + 35n − 2040 = 0‬, נחלק ב־5: ‪n² + 7n − 408 = 0‬.
   ‪n = (−7 ± 41)/2‬, ולכן ‪n = 17‬ (‪n = −24‬ נפסל).

★ חלק אקסטרה למתקדמים

1. 6. תשובה: ‪1665‬
   פתרון:
   זו סדרה חשבונית: ‪12, 15, …, 99‬, ‪d = 3‬.
   מספר האיברים: ‪12 + (n−1)·3 = 99‬, ולכן ‪n = 30‬.
   ‪S₃₀ = 30·(12+99)/2 = 15·111 = 1665‬
2. 7. תשובה: ‪S₂₀ = 1180‬
   פתרון:
   ‪aₙ₊₁ − aₙ = 6(n+1) − 4 − (6n − 4) = 6‬, קבוע, ולכן הסדרה חשבונית.
   ‪a₁ = 2‬, ‪a₂₀ = 116‬.
   ‪S₂₀ = 20·(2+116)/2 = 10·118 = 1180‬
3. 8. תשובה: 23 שורות, 86 מושבים בשורה האחרונה
   פתרון:
   ‪n·(2·20 + (n−1)·3)/2 = 1219‬
   ‪n·(37 + 3n) = 2438‬
   ‪3n² + 37n − 2438 = 0‬
   ‪n = (−37 ± 175)/6‬, ולכן ‪n = 23‬.
   השורה האחרונה: ‪a₂₃ = 20 + 22·3 = 86‬.

המורה החדש · חומרים חינמיים למורים

נוצר בבינה מלאכותית